3.128 \(\int \csc ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ -\frac{\csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \text{Hypergeometric2F1}\left (\frac{1-m}{2},\frac{m-2}{2},\frac{m}{2},\sin ^2(a+b x)\right )}{b (2-m)} \]

[Out]

-(((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[a + b*x]^2*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (-2 + m)/2, m/2, Sin[a + b*x]^2]*S
ec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(2 - m)))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0807039, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.1, Rules used = {4310, 2577} \[ -\frac{\csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \, _2F_1\left (\frac{1-m}{2},\frac{m-2}{2};\frac{m}{2};\sin ^2(a+b x)\right )}{b (2-m)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

-(((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[a + b*x]^2*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (-2 + m)/2, m/2, Sin[a + b*x]^2]*S
ec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(2 - m)))

Rule 4310

Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Dist[(g*Sin[c + d
*x])^p/(Cos[a + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^p), Int[Cos[a + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

Rule 2577

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(b^(2*IntPart
[(n - 1)/2] + 1)*(b*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*(a*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2
, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2])/(a*f*(m + 1)*(Cos[e + f*x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]), x] /; FreeQ[{a, b
, e, f, m, n}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \csc ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx &=\left (\cos ^{-m}(a+b x) \sin ^{-m}(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x)\right ) \int \cos ^m(a+b x) \sin ^{-3+m}(a+b x) \, dx\\ &=-\frac{\cos ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \csc ^2(a+b x) \, _2F_1\left (\frac{1-m}{2},\frac{1}{2} (-2+m);\frac{m}{2};\sin ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x)}{b (2-m)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 14.4233, size = 2421, normalized size = 28.48 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

(2^(-2 + m)*((-2 + m)*m*AppellF1[1 + m/2, -m, 2*m, 2 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + (2 + m)
*Cot[(a + b*x)/2]^2*(2*(-2 + m)*AppellF1[m/2, -m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + m*A
ppellF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]^2))*Csc[a + b*x]^3*(
Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Sin[2*(a + b*x)]^m*T
an[(a + b*x)/2]^2)/(b*m*(-4 + m^2)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m*((2^(-2 + m)*((-2 + m)*m*AppellF1[1 + m
/2, -m, 2*m, 2 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + (2 + m)*Cot[(a + b*x)/2]^2*(2*(-2 + m)*Appell
F1[m/2, -m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + m*AppellF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a
+ b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]^2))*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(1 + 2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin
[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2])/(m*(-4 + m^2)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m)
+ (2^(-2 + m)*((-2 + m)*m*AppellF1[1 + m/2, -m, 2*m, 2 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + (2 +
m)*Cot[(a + b*x)/2]^2*(2*(-2 + m)*AppellF1[m/2, -m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + m
*AppellF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]^2))*(Sec[(a + b*x)
/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^(-1 + m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Cos[(a
+ b*x)/2]/2 + (3*Cos[(3*(a + b*x))/2])/2) - (Sin[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))/2)*
Tan[(a + b*x)/2]^2)/((-4 + m^2)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) + (2^(-1 + m)*((-2 + m)*m*AppellF1[1 + m/
2, -m, 2*m, 2 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + (2 + m)*Cot[(a + b*x)/2]^2*(2*(-2 + m)*AppellF
1[m/2, -m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + m*AppellF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a
+ b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]^2))*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a +
b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2]^3)/((-4 + m^2)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) - (2^
(-2 + m)*((-2 + m)*m*AppellF1[1 + m/2, -m, 2*m, 2 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + (2 + m)*Co
t[(a + b*x)/2]^2*(2*(-2 + m)*AppellF1[m/2, -m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + m*Appe
llF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]^2))*(Sec[(a + b*x)/2]^2
)^(2*m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^(-1 - m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]
))^m*Tan[(a + b*x)/2]^2*(-(Sec[(a + b*x)/2]^2*Sin[a + b*x]) + Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2]
))/(-4 + m^2) + (2^(-2 + m)*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x)
)/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2]^2*(-((2 + m)*Cot[(a + b*x)/2]*(2*(-2 + m)*AppellF1[m/2, -m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b
*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + m*AppellF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*C
ot[(a + b*x)/2]^2)*Csc[(a + b*x)/2]^2) + (-2 + m)*m*(-(((1 + m/2)*m*AppellF1[2 + m/2, 1 - m, 2*m, 3 + m/2, Tan
[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(2 + m/2)) - (2*(1 + m/2)*m*AppellF
1[2 + m/2, -m, 1 + 2*m, 3 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])
/(2 + m/2)) + (2 + m)*Cot[(a + b*x)/2]^2*(-(m*AppellF1[-1 + m/2, -m, 2*m, m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b
*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]*Csc[(a + b*x)/2]^2) + 2*(-2 + m)*(-(m^2*AppellF1[1 + m/2, 1 - m, 2*m, 2 + m/2, Tan[
(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(2*(1 + m/2)) - (m^2*AppellF1[1 + m/
2, -m, 1 + 2*m, 2 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + m/
2)) + m*Cot[(a + b*x)/2]^2*(-2*(-1 + m/2)*AppellF1[m/2, 1 - m, 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x
)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2] - 4*(-1 + m/2)*AppellF1[m/2, -m, 1 + 2*m, 1 + m/2, Tan[(a + b*x)/2
]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2]))))/(m*(-4 + m^2)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]
^2)^m)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.345, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \csc \left ( bx+a \right ) \right ) ^{3} \left ( \sin \left ( 2\,bx+2\,a \right ) \right ) ^{m}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

[Out]

int(csc(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \csc \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*csc(b*x + a)^3, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \csc \left (b x + a\right )^{3}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sin(2*b*x + 2*a)^m*csc(b*x + a)^3, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)**3*sin(2*b*x+2*a)**m,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \csc \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*csc(b*x + a)^3, x)